Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為1的橢圓C上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同的直線PA、PB分別交橢圓C于兩點(diǎn)A、B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求△PAB面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為，知c=，e==，由此能求出橢圓方程．
（2）由P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，），設(shè)PA的斜率為k，那么PB的斜率為-k．其方程分別為：y=k（x-1）+，y=-k（x-1）+，求出直線AB的斜率為．由橢圓方程為．設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（cosa，2sina），直線AB方程為y-2sina=（x-2cosa），則P到AB的距離PD為=|sina-cosa|，AB的距離為|x₁-x₂|=，由此能求出△PAB面積最大值．
解答：解：（1）∵橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為，
∴c=，e==，
∵a²=b²+（）²，
解得a²=4，b²=2，
∴橢圓方程為．
（2）由已知，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，），若PA的斜率為k，那么PB的斜率為-k．其方程分別為：
y=k（x-1）+，y=-k（x-1）+，
分別代入橢圓方程，得：
（k²+2）x²-（2k²-2k）x+（k²-2k-2）=0，
（k²+2）x²-（2k²+2k）x+（k²+2k-2）=0，
由于x=1是以上兩個(gè)方程的解，所以將這兩個(gè)方程分解因式得
（x-1）[（k²+2）x-（k²-2k-2）]=0
（x-1）[（k²+2）x-（k²+2k-2）]=0
所以x₁=（k²-2k-2），x₂=（k²+2k-2），
所以直線AB的斜率為：
=[-k（x₂-1）+-k（x₁-1）-]
=[2-（x₁+x₂）]k
=
=．
∵橢圓方程為．
∴設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（cosa，2sina），直線AB方程為y-2sina=（x-cosa），
P到AB的距離PD為=|sina-cosa|，
AB的距離為|x₁-x₂|=，
把方程y-2sina=（x-cosa），代入橢圓方程，得
x²+（sina-cosa）x-2sinacosa=0，
x₁=cosa，x₂=-sina，
于是△PAB的面積=
=|sina-cosa|
=|sina²-cosa²|，
所以△PAB面積最大值為．
點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法和三角形面積人最大值的求法，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．易錯(cuò)點(diǎn)是直線AB的斜率的求解，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．