Question

.已知f（x）=ax⁵-bx³+c（a＞0）．若f（x）在x=±1處有極值，且極大值為4，極小值為1，求a、b、c．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，依題意知x=-1，x=1為方程5ax²-3b=0的兩根．于是5a=3b，從而有f（x）=ax⁵-

5

3

ax³+c，再由函數(shù)的單調(diào)性得出方程組，求出a，b，c即可．

解答： 解：f′（x）=5ax⁴-3bx²=x²（5ax²-3b），
依題意知x=-1，x=1為方程5ax²-3b=0的兩根．
∴5a=3b．
∴f′（x）=5ax²（x²-1）=5ax²（x+1）（x-1）．
f（x）=ax⁵-

5

3

ax³+c．
∵a＞0，∴有下表

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	_	0	-	0	+
f（x）	遞增	2 3 a+c	遞減		遞減	- 2 3 a+c	遞增

∴

2 3 a+c=4 - 2 3 a+c=1

，
解得a=

9

4

，c=

5

2

，b=

15

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．