Question

在四棱錐S—ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，側(cè)棱SA⊥底面AC，SA=AB=BC=a，AD=2a.

（1）求證：平面SAC⊥平面SCD；

（2）求二面角A-SD-C的大��；

（3）求異面直線(xiàn)SD與AC所成的角；

（4）設(shè)E為BD的中點(diǎn)，求SE與平面SAC所成的角.

Answer 1

證明：（1）以A為原點(diǎn)，AB，AD，AS所在直線(xiàn)分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

∴A（0，0，0），S（0，0，a），C（a,a,0）,D(0,2a,0).

∴=(0,0,a),=(-a,-a,a),=(-a,a,0).

∴·=0,·=0.

∴CD⊥AS,CD⊥CS.

∴CD⊥平面SAC.

    ∵CD平面SCD，

∴平面SAC⊥平面SCD.

解析：（2）過(guò)A作AF⊥SD，過(guò)C作CG⊥SD，

則與的夾角就是二面角的平?面角，

則F（0，a,a）,G(0,a,a),

∴=(0,-a,-a),

=(a,-a,-a).

∴cos，＜,＞=.

∴二面角A-SD-C的大小為arccos.

（3）=(0,2a,-a),=(a,a,0)，

∴cos＜,＞=.

∴SD與AC所成的角為arccos.

（4）∵CD垂直于平面SAC，

∴為平面SAC的法向量.=（-a,a,0）,

又E為BD的中點(diǎn)，

∴E（,a,0），

∴=(,a,-a).

∴cos＜,＞=，

∴SE與平面SAC所成的角為-arccos.