Question

已知橢圓

y2

75

+

x2

25

=1的一條弦的斜率為3，它與直線x=

1

2

的交點恰為這條弦的中點M，則點M的坐標為

(

1

2

，-

1

2

)

．

Answer 1

分析：設直線與橢圓的交點分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則

y12 75 + x12 25 =1 y22 75 + x22 25 =1

，兩式相減，得

y12-y22

75

+

x12-x22

25

=0，由此利用題設條件能推導出點M的坐標．

解答：解：設直線與橢圓的交點分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則

y12 75 + x12 25 =1 y22 75 + x22 25 =1

，
兩式相減，得

y12-y22

75

+

x12-x22

25

=0，
（y₁-y₂）（y₁+y₂）=-3（x₁-x₂）（x₁+x₂），

y1-y2

x1-x2

=-3×

x1+x2

y1+y2

，
因為直線斜率為3，∴

y1-y2

x1-x2

=3，
∵兩交點中點在直線x=

1

2

，x₁+x₂=1，
∴3=-3×1×（y₁+y₂），
∴

y1+y2

2

=-

1

2

．
所以中點M坐標為（

1

2

，-

1

2

）．
故答案為：（

1

2

，-

1

2

）．

點評：本題考查點的坐標的求法，具體涉及到直線與橢圓的位置關系，直線的性質等基本知識點，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．