Question

設(shè)P_n=(1+x)ⁿ,Q_n=1+nx+x²,n∈N₊,x∈(-1,+∞),試比較P_n與Q_n的大小，并加以證明.

Answer 1

思路分析：這類(lèi)問(wèn)題，一般都是將P_n、Q_n退至具體的P_n、Q_n開(kāi)始觀察，以尋求規(guī)律，作出猜想，再證明猜想的正確性.

P₁=1+x=Q₁,P₂=1+2x+x²=Q₂,

P₃=1+3x+3x²+x³,Q₃=1+3x+3x²,

P₃-Q₃=x³,

由此推測(cè),P_n與Q_n的大小要由x的符號(hào)來(lái)決定.

解：(1)當(dāng)n=1,2時(shí)，P_n=Q_n.

(2)當(dāng)n≥3時(shí)，（以下再對(duì)x進(jìn)行分類(lèi)）.

①若x∈(0,+∞)，顯然有P_n＞Q_n;

②若x=0，則P_n=Q_n;

③若x∈(-1,0),

則P₃-Q₃=x³＜0,所以P₃＜Q₃;

P₄-Q₄=4x³+x⁴=x³(4+x)＜0,所以P₄＜Q₄;

假設(shè)P_k＜Q_k(k≥3),

則P_k+1=(1+x)P_k＜(1+x)Q_k=Q_k+xQ_k(運(yùn)用歸納假設(shè))

=1++x+kx²+

=1+(k+1)x+x²+x³

=Q_k+1+x³＜Q_k+1，

即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立.

所以當(dāng)n≥3,且x∈(-1,0)時(shí)，P_n＜Q_n.