Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c滿足f（1）=0，且a＞b＞c．
（1）求$\frac{c}{a}$的取值范圍；
（2）設(shè)該函數(shù)圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，求AB的范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（1）=0，可得a，b，c的關(guān)系，再根據(jù)a＞b＞c，將其中的b代換成a表示，即可求得$\frac{c}{a}$的取值范圍；
（2）設(shè)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，則得到f（x）=0的兩個(gè)根，根據(jù)韋達(dá)定理，將|AB|轉(zhuǎn)化成用兩個(gè)根表示，然后轉(zhuǎn)化成用$\frac{c}{a}$表示，運(yùn)用（1）的結(jié)論，即可求得|AB|的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=ax²+bx+c，且f（1）=0，
∴f（1）=a+b+c=0，
∴b=-（a+c），
∵a＞b＞c，
∴a＞-（a+c）＞c且a＞0，c＜0，
解得-2＜$\frac{c}{a}$＜-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{c}{a}$的取值范圍為-2＜$\frac{c}{a}$＜-$\frac{1}{2}$；
（2）∵函數(shù)f（x）的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，
∴設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），
∴x₁，x₂為f（x）=0，即ax²+bx+c=0的兩個(gè)根，
根據(jù)韋達(dá)定理，則有x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，
則|AB|=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{a}）^{2}-\frac{4c}{a}}$
=$\sqrt{\frac{^{2}-4ac}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{（-a-c）^{2}-4ac}{{a}^{2}}}$=|1-$\frac{c}{a}$|，
∵a＞0，c＜0，
∴a-c＞0，
∴|AB|=1-$\frac{c}{a}$，
由（1）知，-2＜$\frac{c}{a}$＜-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{3}{2}$＜1-$\frac{c}{a}$＜3，即$\frac{3}{2}$＜|AB|＜3，
∴|AB|的取值范圍為（$\frac{3}{2}$，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，注意抓住二次函數(shù)的開口方向，對(duì)稱軸，以及判別式的考慮．同時(shí)考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，函數(shù)的零點(diǎn)等價(jià)于對(duì)應(yīng)方程的根，等價(jià)于函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，解題時(shí)要注意根據(jù)題意合理的選擇轉(zhuǎn)化．屬于中檔題．