Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均是正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，滿足（p-1）S_n=p²-a_n，其中p為正常數(shù)，且p≠1．設(shè)b_n=

1

2-logpan

(n∈N*)，
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_nb_n+2}的前n項(xiàng)和為T_n，是否存在正整數(shù)m，使得T_n＜

1

bmbm+1

對于n∈N^*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）分n=1與n≥2兩類討論，由（p-1）S_n=p²-a_n，可得a₁=p，

an

an-1

=

1

p

，即數(shù)列{a_n}是以a₁=p為首項(xiàng)，

1

p

為公比的等比數(shù)列，從而可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由（1）可得b_n=

1

2-logpan

=

1

n

，bnbn+2=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，于是可求得T_n=

1

4

-

4n+6

4(n2+3n+2)

1

4

-

2n+3

2n2+6n+4

＜

1

4

，假設(shè)存在正整數(shù)m，使得T_n＜

1

bmbm+1

對于n∈N^*恒成立，可導(dǎo)出矛盾，從而可得答案．

解答： （Ⅰ）解：當(dāng)n=1時(shí)，由（p-1）S_n=p²-a_n，的（p-1）S₁=p²-a₁，化為pa1=p2，
∵P為正常數(shù)，且P≠1，∴a₁=p．
當(dāng)n≥2時(shí)，由（p-1）S_n=p²-a_n，得（p-1）S_n-1=p²-a_n-1，兩式相減得pa_n=a_n-1，
∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均是正數(shù)，

an

an-1

=

1

p

，
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=p為首項(xiàng)，

1

p

為公比的等比數(shù)列，
∴an=p•(

1

p

)n-1=p2-n；
（Ⅱ）解：由（1）可得：bn=

1

2-logpan

=

1

2-logpp2-n

=

1

n

．
∴bnbn+2=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

）
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

n2-n-4

4(n+1)(n+2)

=

1

4

-

4n+6

4(n2+3n+2)

1

4

-

2n+3

2n2+6n+4

＜

1

4

．
假設(shè)存在正整數(shù)m，使得T_n＜

1

bmbm+1

對于n∈N^*恒成立，
即m2+m≥

1

4

恒成立，解得

-1- 2

2

≤m≤

-1+ 2

2

，
∴不存在正整數(shù)m，使得T_n＜

1

bmbm+1

對于n∈N^*恒成立；

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的求和，考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，考查等比關(guān)系的確定與裂項(xiàng)法求和，屬于難題．