Question

3．在平面直角坐標系xOy中，已知第一象限內的點P（a，b）在直線2x+y-1=0上，則$\frac{4}{a+b}$+$\frac{1}{a}$取得最小值時，a的值為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 第一象限內的點P（a，b）在直線2x+y-1=0上，可得a，b＞0，2a+b=1．利用“乘1法”與基本不等式的性質即可得出．

解答 解：第一象限內的點P（a，b）在直線2x+y-1=0上，∴a，b＞0，2a+b=1．
則$\frac{4}{a+b}$+$\frac{1}{a}$=（a+a+b）$（\frac{4}{a+b}+\frac{1}{a}）$=5+$\frac{4a}{a+b}$+$\frac{a+b}{a}$≥5+2$\sqrt{\frac{4a}{a+b}×\frac{a+b}{a}}$=9，
當且僅當a=b=$\frac{1}{3}$時取等號，即$\frac{4}{a+b}$+$\frac{1}{a}$取得最小值．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了點與直線的關系、“乘1法”與基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．