Question

（本題滿分16分）已知函數(shù)在處的切線與直線平行．

（1）求實數(shù)的值；

（2）若關(guān)于的方程在上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；

（3）記函數(shù)，設(shè)是函數(shù)的兩個極值點，若，且恒成立，求實數(shù)的最大值．

Answer 1

（1）（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）由題知斜率為 ，所以函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，列出方程，解出

（2）構(gòu)造函數(shù)，將有兩個不相等的實根轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩上零點；然后求導(dǎo)，列表，根據(jù)圖像列出不等式（3）由是函數(shù)的兩個極值點，求導(dǎo)得

，根據(jù)，求出或 的范圍；要求 的最大值，即求的最小值，根據(jù)，構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，或直接構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)， 求出最值。

試題解析：【解析】
（1） 2分

∵函數(shù)在處的切線與直線平行 ∴，

解得：； 4分

（2）由（1）得，∴，即

設(shè)，

則

令，得， 列表得：

			1	（1，2）	2
	0	－	0	+
	極大值		極小值

∴當(dāng)時，的極小值為，

又 7分

∵方程在上恰有兩個不相等的實數(shù)根，

∴即解得：；

（也可分離變量解） 10分

（3）解法（一）

∵，∴

∴，

∴

設(shè)，則，令，

則，∴在上單調(diào)遞減； 12分

∵，∴

∵

∴ ∴ ∴ 14分

∴當(dāng)時， ∴

． 16分

解法（二）

∵，∴

∴， ∴ ∵ ∴

解得： 12分

∴

設(shè)，則

∴在上單調(diào)遞減； 14分

∴當(dāng)時， ∴

． 16分

考點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)與不等式