Question

如果銳角△ABC的外接圓的圓心為O，求O到三角形三邊的距離之比．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)銳角△ABC中三邊長為a，b，c，P是三角形ABC外接圓的圓心，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，PG⊥AB于G，銳角△ABC外心P在△ABC內(nèi)，設(shè)外接圓半徑=R，在三角形PBC中，S_△PBC=PE×=×PB×PC×sin∠BPC，故PE×BC=R²•sin2A=2R²sinAcosA，同理，PF•AC=2R²sinBcosB，PG•AB=2R²sinCcosC．由此利用正弦定理能導(dǎo)出O到三角形三邊的距離之比．
解答：解：設(shè)銳角△ABC中三邊長為a，b，c，P是三角形ABC外接圓的圓心，
PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，PG⊥AB于G，
銳角△ABC外心P在△ABC內(nèi)，
設(shè)外接圓半徑=R，在三角形PBC中，
S_△PBC=PE×=×PB×PC×sin∠BPC，
∵PB=PC=R，∠BPC=2A，（圓心角是同弧圓周角的2倍），
∴PE×BC=R²•sin2A=2R²sinAcosA，①
同理，PF•AC=2R²sinBcosB，②
PG•AB=2R²sinCcosC，③
式，得==，
∴=，
而根據(jù)正弦定理，，
即BC•sinB=AC•sinA，
故得：，
同理可得：．
所以PE：PF：PG=cosA：cosB：cosC．
故O到三角形三邊的距離之比為：cosA：cosB：cosC．
點評：本題考查銳角△ABC的外接圓的圓心O到三角形三邊的距離之比的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意三角函數(shù)的性質(zhì)和正弦定理的靈活運用．