Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，函數(shù)f（x）=

1

3

px³-

1

2

（p+q）x²+qx+q（其中p、q均為常數(shù)，且p＞q＞0），當x=a₁時，函數(shù)f（x）取得極小值、點（n，2S_n）（n∈N⁺）均在函數(shù)y=2px²-qx+q-f′（x）的圖象上．
（1）求a₁的值；   
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）先對函數(shù)f（x）進行求導，令其導數(shù)為0求得x，進而根據(jù)x變化時f'（x）和f（x）的變化情況確定函數(shù)f（x）的極小值．求得a₁．
（2）點（n，2S_n）（n∈N⁺）均在函數(shù)y=2px²-qx+q-f′（x）的圖象上，可得 2S_n =pn²+pn ①，換元可得 2s_n-1=p（n-1）²+p（n-1）②，把①②相減可得 2a_n=2pn，再由 a₁ =1求得數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，+∞），f'（x）=px²-（p+q）x+q，
令f'（x）=0，得x=1或x=

q

p

．又因為p＞q＞0，故有0＜

q

p

＜1．
再由f'（x）在x=1的左側(cè)為負、右側(cè)為正，故當x=1時，函數(shù)f（x）取得極小值．
再由f'（x）在x=

q

p

的左側(cè)為正、右側(cè)為負，故當x=

q

p

時，函數(shù)f（x）取得極大值．
由于當x=a₁時，函數(shù)f（x）取得極小值，故 a₁ =1．
（2）函數(shù)y=2px²-qx+q-f′（x）=px²+px，
點（n，2S_n）（n∈N⁺）均在函數(shù)y=2px²-qx+q-f′（x）的圖象上，
故有 2S_n =pn²+pn ①，故 2s_n-1=p（n-1）²+p（n-1），（n＞1 ） ②．
把①②相減可得 2a_n=2pn，∴a_n=pn．
再由a₁ =1可得 p=1，故a_n=n．
綜上可得，數(shù)列{a_n}的通項公式為 a_n=n．

點評：本題主要考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合，涉及了函數(shù)的導數(shù)求極值，數(shù)列遞推式求通項公式等．考查了考試綜合分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．