Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知c=1，C=．
（1）若cos（θ+C）=，0＜θ＜π，求cosθ；
（2）若sinC+sin（A-B）=3sin2B，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意，得出sin（θ+C）=sin（θ+）=．結(jié)合配角θ=（θ+）-利用兩角差的余弦公式，即可算出的值．
（2）利用sinC=sin（A+B），結(jié)合兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)整理，得cosB（sinA-3sinB）=0，從而cosB=0或sinA=3sinB．再分cosB=0和a=3b兩種情況加以討論，即可分別求出兩種情況下△ABC的面積S．
解答：解：（1）∵0＜θ＜π，C=，cos（θ+C）=，
∴可得θ+C=θ+是銳角，sin（θ+C）=sin（θ+）=
∴cosθ=cos[（θ+）-]=×+=
即…（6分）
（2）∵A+B=π-C，可得sinC=sin（A+B）
∴由sinC+sin（A-B）=3sin2B，得sin（A+B）+sin（A-B）=3sin2B，
即2sinAcosB=6sinBcosB，可得cosB（sinA-3sinB）=0
∴cosB=0或sinA=3sinB
①cosB=0，得B=，結(jié)合C=得A=
∴a=，b=
△ABC的面積S=absinC…..（4分）
②若sinA=3sinB，則a=3b，
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，得1=10b²-6b²cos
即7b²=1，解之得b=，從而a=
△ABC的面積S=absinC=…（4分）
點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形的一邊和其對(duì)角，在已知等式的情況下求三角形的面積．著重考查了和與差的三角函數(shù)公式、正余弦定理解三角形等知識(shí)，屬于中檔題．