Question

15．已知A（a，0），B（0，b），C（cosα，sinα）三點共線，其中a＞0，b＞0，α∈（0，$\frac{π}{2}$），則$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$的最小值$\frac{2}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$．

Answer 1

分析 先求出ab=asinα+bcosα，利用基本不等式的性質(zhì)判斷即可．

解答 解：∵A（a，0），B（0，b），C（cosα，sinα）三點共線，
∴-$\frac{a}$=$\frac{sinα-b}{cosα}$，即ab=asinα+bcosα，
又a＞0，b＞0，α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$≥2$\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}•\frac{1}{^{2}}}$=$\frac{2}{ab}$=$\frac{2}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}sin（α+θ）}$≥$\frac{2}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$，
（θ=arccos$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$），當且僅當a=b時“=”成立，
故答案為：$\frac{2}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$．

點評 本題考察了斜率問題，考察基本不等式的性質(zhì)，是一道基礎題．