Question

17．對于實數(shù)a，b，定義運算“*”：a*b=$\left\{\begin{array}{l}{-{a}^{2}+2ab-1．a(chǎn)＜b}\\{^{2}-ab，a＞b}\end{array}\right.$，若f（x）=（2x-1）*（x-1），且函數(shù)y=f（x）-m有三個零點x₁，x₂，x₃，則x₁•x₂•x₃的取值范圍是（　�。�

• A． （-$\frac{1}{4}$，0）
• B． （-$\frac{1}{8}$，0）
• C． （-$\frac{1}{16}$，0）
• D． （-$\frac{1}{32}$，0）

Answer 1

分析 由新定義求出函數(shù)的解析式，得到關于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數(shù)根時，實數(shù)m的取值范圍及三個實根之間的關系，進而求出x₁•x₂•x₃的取值范圍．

解答 解：由2x-1＜x-1，得x＜0，此時f（x）=（2x-1）*（x-1）=-（2x-1）²+2（2x-1）（x-1）-1=-2x，
由2x-1＞x-1，得x＞0，此時f（x）=（2x-1）*（x-1）=（x-1）²-（2x-1）（x-1）=-x²+x，
∴f（x）=（2x-1）*（x-1）=$\left\{\begin{array}{l}{-2x，x＜0}\\{-{x}^{2}+x，x＞0}\end{array}\right.$，
作出函數(shù)的圖象可得，
要使方程f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數(shù)根x₁，x₂，x₃，不妨設x₁＜x₂＜x₃，
則0＜x₂＜$\frac{1}{2}$＜x₃＜1，且x₂和x₃關于x=$\frac{1}{2}$對稱，
∴x₂+x₃=2×$\frac{1}{2}$=1．則x₂+x₃≥2$\sqrt{{x}_{2}{x}_{3}}$，0＜x₂x₃＜$\frac{1}{4}$，等號取不到．
當-2x=$\frac{1}{4}$時，解得x=-$\frac{1}{8}$，
∴-$\frac{1}{8}$＜x₁＜0，
∵0＜x₂x₃≤$\frac{1}{4}$，
∴-$\frac{1}{32}$＜x₁•x₂•x₃＜0，
即x₁•x₂•x₃的取值范圍是（-$\frac{1}{32}$，0）．
故選：D．

點評 本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，根據(jù)已知新定義，求出函數(shù)的解析式并作出函數(shù)圖象是解答的關鍵，是中檔題．