Question

函數(shù)f（x）=lnx+-（a為常數(shù)，a＞0）．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）=lnx+-（a為常數(shù)，a＞0），知f′（x）= （x＞0）．由已知得f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，由此能求出a的取值范圍．
（2）當(dāng)a≥1時，由f′（x）＞0在（1，2）上恒成立，f（x）在[1，2]上為增函數(shù)，f（x）_min=f（1）=0，當(dāng)0＜a≤時，f′（x）＜0在（1，2）上恒成立，這時f（x）在[1，2]上為減函數(shù)，f（x）_min=f（2）=ln2-．當(dāng)＜a＜1時，x∈[1，）時，f′（x）＜0；x∈（，2]時，f′（x）＞0，f（x）_min=-lna+1-．由此能求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．
解答：解：（1）∵f（x）=lnx+-（a為常數(shù)，a＞0）．
∴f′（x）= （x＞0）．
由已知得f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≥在[1，+∞）上恒成立，
又∵當(dāng)x∈[1，+∞）時，≤1，
∴a≥1，即a的取值范圍為[1，+∞）．
（2）當(dāng)a≥1時，∵f′（x）＞0在（1，2）上恒成立，f（x）在[1，2]上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（1）=0，
當(dāng)0＜a≤時，∵f′（x）＜0在（1，2）上恒成立，這時f（x）在[1，2]上為減函數(shù)，
∴f（x）_min=f（2）=ln2-．
當(dāng)＜a＜1時，∵x∈[1，）時，f′（x）＜0；
x∈（，2]時，f′（x）＞0，
∴f（x）_min=-lna+1-．
綜上，f（x）在[1，2]上的最小值為 ①當(dāng)0＜a≤時，f（x）_min=ln2-；②當(dāng)＜a＜1時，f（x）_min=-lna+1-．③當(dāng)a≥1時，f（x）_min=0．
點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．