Question

17．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x）+1，且x∈[0，1]時(shí)，f（x）=4^x，x∈（1，2）時(shí)，f（x）=$\frac{f（1）}{x}$，令g（x）=2f（x）-x-4，x∈[-6，2]，則函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 6
• B． 7
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 由x∈[0，1]時(shí)，f（x）=4^x，可得f（1）=4，x∈（1，2）時(shí)，f（x）=$\frac{f（1）}{x}$=$\frac{4}{x}$，而由函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x）+1，即自變量x每增加2個(gè)單位，函數(shù)圖象向上平移1個(gè)單位，自變量每減少2個(gè)單位，函數(shù)圖象向下平移1個(gè)單位，畫(huà)出函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)的圖象可求

解答 解：∵x∈[0，1]時(shí)，f（x）=4^x，
∴f（1）=4
∴x∈（1，2）時(shí)，f（x）=$\frac{f（1）}{x}$=$\frac{4}{x}$，
∵g（x）=2f（x）-x-4，x∈[-6，2]，
令g（x）=2f（x）-x-4=0，
即f（x）=$\frac{1}{2}$x+2
∵函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x）+1，即自變量x每增加2個(gè)單位，函數(shù)圖象向上平移1個(gè)單位，自變量每減少2個(gè)單位，函數(shù)圖象向下平移1個(gè)單位，
分別畫(huà)出函數(shù)y=f（x）在x∈[-6，2]，y=$\frac{1}{2}$x+2的圖象，
∴y=f（x）在x∈[-6，2]，y=$\frac{1}{2}$x+2有8個(gè)交點(diǎn)，
故函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為8個(gè)．


故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用轉(zhuǎn)化思想，將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，是解答本題的關(guān)鍵