Question

在三棱錐A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB=3，BD=4，則三棱錐A-BCD外接球的半徑為（　�。�

• A、2
• B、3
• C、4
• D、

  5

  2

Answer 1

分析：取AD的中點(diǎn)O，連結(jié)OB、OC．由線面垂直的判定與性質(zhì)，證出AB⊥BD且AC⊥CD，得到△ABD與△ACD是具有公共斜邊的直角三角形，從而得出OA=OB=OC=OD=

1

2

AD，所以A、B、C、D四點(diǎn)在以O(shè)為球心的球面上，再根據(jù)題中的數(shù)據(jù)利用勾股定理算出AD長，即可得到三棱錐A-BCD外接球的半徑大�。�

解答：解：取AD的中點(diǎn)O，連結(jié)OB、OC
∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴AB⊥CD，
又∵BC⊥CD，AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC，
∵AC?平面ABC，∴CD⊥AC，
∵OC是Rt△ADC的斜邊上的中線，OC=

1

2

AD．
同理可得：Rt△ABD中，OB=

1

2

AD，
∴OA=OB=OC=OD=

1

2

AD，可得A、B、C、D四點(diǎn)在以O(shè)為球心的球面上．
Rt△ABD中，AB=3且BD=4，可得AD=

AB2+BD2

=5，
由此可得球O的半徑R=

1

2

AD=

5

2

，即三棱錐A-BCD外接球的半徑為

5

2

．
故選：D

點(diǎn)評：本題已知三棱錐的底面為直角三角形，由它的外接球的半徑．著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、勾股定理與球內(nèi)接多面體等知識(shí)，屬于中檔題．