Question

8．已知定義在x∈[-2，2]上的偶函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=-x+2$\sqrt{3-x}$．
（1）求函數(shù)f（x）在x∈[-2，2]上的解析式；
（2）設(shè)g（x）=ax-2-a，（a＞0），若對(duì)于任意x₁，x₂∈[-2，2]，都有g(shù)（x₁）＜f（x₂）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)x∈[-2，0]，則-x∈[0，2]，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，從而求出函數(shù)的解析式；
（2）由題意得g（x）_max＜f（x）_min，分別求出g（x）的最大值和f（x）的最小值，得到關(guān)于a的不等式，從而求出a的范圍．

解答 解：（1）設(shè)x∈[-2，0]，則-x∈[0，2]，
∵f（x）定義x∈[-2，2]是偶函數(shù)，
∴f（-x）=x+2$\sqrt{3+x}$，
∵f（-x）=f（x），∴f（x）=x+2$\sqrt{3+x}$，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+2\sqrt{3+x}，x∈[-2，0）}\\{-x+2\sqrt{3-x}，x∈[0，2]}\end{array}\right.$；
（2）因?yàn)閷?duì)任意x₁，x₂∈[-2．，2]，都有g(shù)（x₁）＜f（x₂）成立，
所以g（x）_max＜f（x）_min，
又因?yàn)閒（x）是定義在[-2，2]上的偶函數(shù)，
∴f（x）在區(qū)間[-2，0]和區(qū)間[0，2]上的值域相同．
當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)：f（x）=x+2$\sqrt{3+x}$，
設(shè)t=$\sqrt{3+x}$，則t∈[1，$\sqrt{3}$]，
函數(shù)化為：y=t²+t-3，t∈[1，$\sqrt{3}$]，
則f（x）_min=-1，
又g（x）_max=g（2）=a-2，
∴a-2＜-1，∴a＜1，
故a的范圍是：0＜a＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求函數(shù)的解析式問題，考查函數(shù)的奇偶性、函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．