Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)為F，離心率為

2

3

，短軸長為2

5

，過點(diǎn)F引兩直線l₁和l₂，l₁交橢圓于點(diǎn)A和C，l₂交橢圓于B和D．
（Ⅰ）求此橢圓的方程；
（Ⅱ）若|FA|•|FC|=|FB|•|FD|，試求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意有

c a = 2 3 2b=2 5

，由此能求出橢圓M的方程．
（Ⅱ）設(shè)F為橢圓M的右焦點(diǎn)（2，0），當(dāng)直線l₁的斜率k₁存在時(shí)，推導(dǎo)出|FA|•|FC|=

25

9-4cos2θ1

；當(dāng)l₁的斜率不存在時(shí)，|FA|•|FC|=

25

9

，從而得到四邊形ABCD的面積為S=

1

2

|AC|•|BD|sin2θ₁=

450sin2θ1

(9-4cos2θ1)2

，由此能求出四邊形ABCD的面積的最大值．

解答： （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）根據(jù)題意有

c a = 2 3 2b=2 5

，又a²=b²+c²，
解得a=3，b=

5

，c=2，
∴橢圓M的方程為

x2

9

+

y2

5

=1．…（5分）
（Ⅱ）不妨設(shè)F為橢圓M的右焦點(diǎn)（2，0），
當(dāng)直線l₁的斜率k₁存在時(shí)，l₁的方程為y=k₁（x-2）=k₁x+m，（m=-2k₁） …（1），
設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），把（1）代入橢圓的方程，得關(guān)于x的一元二次方程：
（5+9k₁²）x²+18mk₁x+9m²-45=0，…（2）
∵x₁，x₂是方程（2）的兩個(gè)實(shí)數(shù)解，
∴x1+x2=

-18mk1

5+9k12

，x₁•x₂=

9m2-45

5+9k12

，…（3）
又y₁=k₁（x₁-2），y₂=k₁（x₂-2），
∴|FA|=

(x1 -2)2+(y1 -0)2

=

1+k12

|x₁-2|，
同理|FC|=

1+k12

|x2-2|，
∴|FA|•|FC|=（1+k₁²）|x₁x₂-2（x₁+x₂）+4|，…（4）
把（3）代入（4）得，|FA|•|FC|=（1+k₁²）|

9m2 -45

5+9k12

-2

-18mk1

5+9k12

+4|，…（5）
記θ1 為直線l₁的傾斜角，則k₁=tanθ₁，
由（5）知|FA|•|FC|=

25

9-4cos2θ1

，…（6）
當(dāng)l₁的斜率不存在時(shí)，θ₁=90°，
此時(shí)A，C的坐標(biāo)可為（2，

5

3

）和（2，-

5

3

）或（2，-

5

3

）和（2，

5

3

），
∴|FA|•|FC|=

25

9

，…（7）
由（6）（7）知，當(dāng)直線l₁的傾斜角為θ₁時(shí)，|FA|•|FC|=

25

9-4cos2θ1

，…（8）
同理，記直線l₂的傾斜角為θ₂時(shí)，|FB|•|FD|=

25

9-4cos2θ2

 …（9）
由|FA|•|FC|=|FB|•|FD|得，cos²θ₁=cos²θ₂，
0＜θ₁，θ₂＜π，∴θ₁=θ₂或θ₁=π-θ₂，
依題意θ₁≠θ₂，∴θ₁=π-θ₂，
當(dāng)θ₁≠90°時(shí)，|AC|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+k2 (x1+x2)2-4x1x2

=

1+k12

( -18mk12 5+9k12 -4 9m2-45 5+9k12

=

30(1+k12)

5+9k12

=

30(1+tan2θ1)

5+9tan2θ1

=

30

9-4cos2θ1

，…（10）
當(dāng)θ₁=90°時(shí)，|AC|=2×

5

3

=

10

3

，…（11）
由（10）、（11）知當(dāng)直線l₁的傾斜角為θ₁時(shí)，|AC|=

30

9-4cos2θ1

，…（12）
同理，|BD|=

30

9-4cos2(π-θ1)

=

30

9-4cos2θ1

，…（13）
由（12）、（13）知，四邊形ABCD的面積為S=

1

2

|AC|•|BD|sin2θ₁=

450sin2θ1

(9-4cos2θ1)2

，
令g（θ）=

sin2θ

(9-4cos2θ)2

，∵cos²θ=

1+cos2θ

2

，
∴g（θ）=

sin2θ

(7-2cos2θ)2

，
則g′(θ)=(

sin2θ

7-2cos2θ)2

)′
=

2(2cos2θ-1)(cos2θ+4)

(7-2cos2θ)3

，
∵0＜θ＜π，∴0＜2θ＜2π，當(dāng)0＜2θ＜

π

3

，或

5π

3

＜2θ＜2π時(shí)，g′（θ）＞0，
g（θ）遞增，當(dāng)

π

3

≤2θ≤

5π

3

時(shí)，g′（x）≤0，g（θ）遞減，
∴當(dāng)2θ=

π

3

，即θ=

π

6

時(shí)，g（θ）取最大值，
即g（θ）_max=g（

π

6

）=

3

72

，
∴當(dāng)θ=

π

6

時(shí)，四邊形ABCD的面積S_max=

25 3

4

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查四邊形面積的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．