Question

14．已知雙曲線與橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有相同的焦點，它的一條漸近線方程為y=x，求雙曲線的方程．

Answer 1

分析 由已知得雙曲線的焦點坐標為F（$±\sqrt{5}$，0），設雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞0，b＞0），由雙曲線的一條漸近線方程為y=x，能求出雙曲線方程．

解答 解：∵雙曲線與橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有相同的焦點，
∴雙曲線的焦點坐標為F（$±\sqrt{5}$，0），
∴設雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞0，b＞0），
∵雙曲線的一條漸近線方程為y=x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=b}\\{c=\sqrt{5}}\\{{c}^{2}={a}^{2}+^{2}}\end{array}\right.$，解得a=b=$\sqrt{\frac{5}{2}}$，
∴雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{5}{2}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{5}{2}}$=1．

點評 本題考查雙曲線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質和雙曲線性質的合理運用．