Question

 已知動直線與橢圓：交于兩不同點(diǎn)，且的面積，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：和均為定值；

（Ⅱ）設(shè)線段的中點(diǎn)為，求的最大值；

（Ⅲ）橢圓上是否存在三點(diǎn)，使得？若存在，判斷的形狀；若不存在，請說明理由．

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解析：（Ⅰ）當(dāng)直線的斜率不存在時，兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，則，

由在橢圓上，則，而，則

于是，.

當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線為，代入可得

，即，，即

，

則，滿足

，

，

綜上可知，.

（Ⅱ））當(dāng)直線的斜率不存在時，由（Ⅰ）知

當(dāng)直線的斜率存在時，由（Ⅰ）知，

，

，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，綜上可知的最大值為。

（Ⅲ）假設(shè)橢圓上存在三點(diǎn)，使得，

由（Ⅰ）知，

.

解得,，

因此只能從中選取，只能從中選取，

因此只能從中選取三個不同點(diǎn)，而這三點(diǎn)的兩兩連線必有一個過原點(diǎn)，這與相矛盾，

故橢圓上不存在三點(diǎn)，使得。