Question

已知函數(shù)在處有極大值．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若過(guò)原點(diǎn)有三條直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，求的取值范圍；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在拋物線(xiàn)的下方，求的取值范圍．

 

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）通過(guò)對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在x=2處有極值，可知f'（2）=0，解得a的值．

（Ⅱ）把（1）求得的a代入函數(shù)關(guān)系式，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)函數(shù)可知切線(xiàn)斜率，則切線(xiàn)方程可得，整理可求得b的表達(dá)式，令g'（x）=0解得x1和x2．進(jìn)而可列出函數(shù)g（x）的單調(diào)性進(jìn)而可知-64＜b＜0時(shí)，方程b=g（x）有三個(gè)不同的解，結(jié)論可得．

（Ⅲ）當(dāng)x∈[-2，4]時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象在拋物線(xiàn)y=1+45x-9x2的下方，進(jìn)而可知x3-12x2+36x+b＜1+45x-9x2在x∈[-2，4]時(shí)恒成立，整理可得關(guān)于b的不等式，令h（x）=-x3+3x2+9x+1，對(duì)h（x）進(jìn)行求導(dǎo)由h'（x）=0得x1和x2．分別求得h，h（-1），h（3），h（4），進(jìn)而可知h（x）在[-2，4]上的最小值是，進(jìn)而求得b的范圍．

試題解析：（Ⅰ），

或，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極小值，舍去；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在處取得極大值，符合題意，∴．（3分）

（Ⅱ），設(shè)切點(diǎn)為，則切線(xiàn)斜率為，切線(xiàn)方程為，

即 ，

∴．

令，則，

由得，．

函數(shù)的單調(diào)性如下：

	↗	極大值	↘	極小值	↗

 

∴當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)不同的解，過(guò)原點(diǎn)有三條直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切．（8分）

（Ⅲ）∵當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在拋物線(xiàn)的下方，∴在時(shí)恒成立，

即在時(shí)恒成立，令，則，由得，．

∵，，，，

∴在上的最小值是，．（12分）

考點(diǎn)：等比關(guān)系的確定；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．