Question

如圖，在四棱錐O-ABCD中，OA⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，OA=2，M、N、Q分別為OA、BC、CD的中點．
（Ⅰ）證明：DN⊥平面OAQ；
（Ⅱ）求點B到平面DMN的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）如圖建立空間直角坐標，由

AQ

•

DN

=0可得

AQ

⊥

DN

，即AQ⊥DN，又知OA⊥DN，可得DN⊥平面OAQ．
（Ⅱ） 設(shè)平面DMN的法向量為

n

=(x，y，z)，由

n • DM =0 n • DN =0

 可得

n

的坐標，利用點B到平面DMN的距離d  = 

| BN • n |

| n |

，求得結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）由題意，可知AO，AB，AD兩兩垂直，于是可如圖建立空間直角坐標系，從而可得以下各點的坐標：A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），O（0，0，2），M（0，0，1），N（2，1，0），Q（1，2，0）

AQ

=(1，2，0)，

DN

=(2，-1，0)，
∵

AQ

•

DN

=0．∴

AQ

⊥

DN

．即AQ⊥DN．
又知OA⊥DN，∴DN⊥平面OAQ．
（Ⅱ）設(shè)平面DMN的法向量為

n

=(x，y，z)，
由

DM

=(0，-2，1)，

DN

=(2，-1，0)．得

n • DM =0 n • DN =0

即

-2y+z=0 2x-y=0

，
令x=1，得平面DMN的法向量

n

=(1，2，4)，
∴點B到平面DMN的距離d=

| BN • n |

| n |

=

2

21

=

2 21

21

．

點評：本題考查兩個向量垂直的條件，線面垂直的判定，用向量法求點到面的距離，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，求平面DMN的法向量的坐標是解題的關(guān)鍵．