Question

設非零復數(shù)a₁，a₂，a₃，a₄，a₅滿足

其中S為實數(shù)且|S|≤2．
求證：復數(shù)a₁，a₂，a₃，a₄，a₅在復平面上所對應的點位于同一圓周上．

Answer 1

【答案】分析：設=q，由題設條件，得a₁（1+q+q²+q³+q⁴）=（1+q+q²+q³+q⁴），故（q⁴-4）（1+q+q²+q³+q⁴）=0，所以=±2，或1+q+q²+q³+q⁴=0．由此進行分類討論，能夠證明復數(shù)a₁，a₂，a₃，a₄，a₅在復平面上所對應的點位于同一圓周上．
解答：證明：設=q，
由題設條件，得a₁（1+q+q²+q³+q⁴）=（1+q+q²+q³+q⁴），
∴（q⁴-4）（1+q+q²+q³+q⁴）=0，
∴=±2，或1+q+q²+q³+q⁴=0．
①若=±2，則，
∴S==±2[（q++）²-]，
∴由已知條件得（q++）²-∈R，且|（q++）²-|≤1．
令q++=h（cosθ+isinθ），則，
∴sin2θ=0．
-1≤h²（cos2θ+isin2θ）-≤1，
∴，
∴cos2θ＞0，∴θ=kπ，k∈Z．
∴q+∈R，再令q=r（cosα+isinα），r＞0．
則q+=（r+）cosα+i（r-）sinα∈R，
∴sinα=0，或r=1．
若sinα=0，則q=±r為實數(shù)，
此時q+≥2，或q+≤-2．
此時，q+≥5，或q+．
此時，由|（q++）²-|≤1，知q=-1，|a₁|=2．
若r=1，仍有|a₁|=2，故此五點在同一圓上．
②若1+q+q²+q³+q⁴=0，則|q|=1，
此時|a₁|=|a₂|=|a₃|=|a₄|=|a₅|，
故此五點共圓．
綜上，復數(shù)a₁，a₂，a₃，a₄，a₅在復平面上所對應的點位于同一圓周上．
點評：本題考查五點共圓的證明，具體涉及到復數(shù)、三角函數(shù)等知識點的綜合運用，解題時要注意分類討論思想和等價轉化思想的合理運用．