Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}a-|{x+1}|，x\;≤\;1\\{（x-a）^2}，\;x＞1\end{array}$函數(shù)g（x）=2-f（x），若函數(shù)y=f（x）-g（x）恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2，3]．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)g（x）和f（x）的關(guān)系，將y=f（x）-g（x）=0轉(zhuǎn)化為f（x）=1，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：由題意當(dāng)y=f（x）-g（x）=2[f（x）-1]=0 時(shí)，即方程f（x）=1 有4個(gè)解．
又由函數(shù)y=a-|x+1|與函數(shù)y=（x-a）² 的大致形狀可知，
直線y=1 與函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}a-|{x+1}|，x\;≤\;1\\{（x-a）^2}，\;x＞1\end{array}$ 的左右兩支曲線都有兩個(gè)交點(diǎn)
當(dāng)x≤1時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為a，則a＞1，
同時(shí)在[-1，1]上f（x）=a-|x+1|的最小值為f（1）=a-2，
當(dāng)a＞1時(shí)，在（1，a]上f（1）=（1-a）²，
要使y=f（x）-g（x）恰有4個(gè)零點(diǎn)，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a-2≤1}\\{（1-a）^{2}＞1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a≤3}\\{a＞2或a＜0}\end{array}\right.$，解得2＜a≤3．
故答案為：（2，3]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用條件轉(zhuǎn)化為f（x）=1，利用數(shù)形結(jié)合以及絕對(duì)值函數(shù)以及一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．