Question

15．已知變量x，y滿(mǎn)足約束條件$\left\{{\begin{array}{l}{x+y-3≥0}\\{2x-y-9≤0}\\{y≤2}\end{array}}\right.$，若使z=ax+y（a＞0）取得最小值的最優(yōu)解有無(wú)窮多個(gè)，則實(shí)數(shù)a=1．

Answer 1

分析 作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，要使z=ax+y取最小值的最優(yōu)解有無(wú)窮多個(gè)，則目標(biāo)函數(shù)和其中一條直線平行，然后根據(jù)條件即可求出a的值．

解答 解：作出不等式組$\left\{{\begin{array}{l}{x+y-3≥0}\\{2x-y-9≤0}\\{y≤2}\end{array}}\right.$對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
由z=ax+y，得y=-ax+z，
a＞0，則目標(biāo)函數(shù)的斜率k=-a＜0．
平移直線y=-ax+z，
由圖象可知當(dāng)直線y=-ax+z和直線x+y=3平行時(shí)，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最小值時(shí)最優(yōu)解有無(wú)數(shù)多個(gè)，
此時(shí)-a=-1，即a=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法，利用z的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．