Question

已知二次函數(shù)f(x)=ax²+bx滿足f(2)=0且方程f(x)=0有等根.

(1)求f(x)的解析式；

(2)問是否存在實數(shù)m、n(m＜n)，使f(x)的定義域為［m，n］，值域為［2m，2n］?如存在，求出m、n的值；如不存在，請說明理由.

Answer 1

解:(1)依題意，方程ax²+(b－1)x=0有等根，

∴(b－1)²=0,即b=1.

又f(2)=0，∴4a+2b=0.∴a=－.

∴f(x)=－x²+x.

(2)∵f(x)=－ (x－1)²+≤,

∴2n≤，即n≤.

∵f(x)=－(x－1)²+的對稱軸為x=1,

∴當n≤時，f(x)在［m，n］上為增函數(shù).

設m、n存在，則即

又m＜n≤，∴

即存在實數(shù)m=－2，n=0，使f(x)的定義域為［－2，0］，值域為［－4，0］.

點評:二次函數(shù)問題是函數(shù)中的重要題型，本題先用待定系數(shù)法確定解析式，然后再用m、n把定義域、值域聯(lián)系起來，考查二次函數(shù)性質(zhì).