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是否存在正整數(shù)m,使得f(n)=(2n+7)·3n+9對(duì)任意自然數(shù)n都能被m整除?若存在,求出最大的m值,并證明你的結(jié)論；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

解:由f(n)=(2n+7)·3n+9,得f(1)=36,f(2)=3×36,f(3)=10×36,f(4)=34×36,由此猜想m=36.

    下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

    (1)當(dāng)n=1時(shí),顯然成立.

    (2)假設(shè)n=k時(shí),f(k)能被36整除,即f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除；當(dāng)n=k+1時(shí),［2(k+1)+7］·3k+1+9=3［(2k+7)·3k+9］+18(3k-1-1),

    由于3k-1-1是2的倍數(shù),故18(3k-1-1)能被36整除.這就是說(shuō),當(dāng)n=k+1時(shí),f(n)也能被36整除.

    由(1)(2)可知對(duì)一切正整數(shù)n都有f(n)=(2n+7)·3n+9能被36整除,m的最大值為36.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn+1=
1
2
Sn+a，又a1=2，a2=1．
（1）求a的值；
（2）求Sn；
（3）是否存在正整數(shù)m、n，使
Sn+1＞2Sn-m
Sn+1＞m
成立？若存在，求出m、n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn+1=kSn+2，且a1=2，a2=1．
（1）求k的值；
（2）求Sn；
（3）是否存在正整數(shù)m，n，使
Sn-m
Sn+1-m
＜
1
2
成立？若存在，求出這樣的正整數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，已知S3=9，S6=36．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在正整數(shù)m、k，使am，am+5，ak成等比數(shù)列？若存在，求出m和k的值，若不存在，說(shuō)明理由；
（3）設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=3n-2．集合A={x|x=an，n∈N*}，B={x|x=bn，n∈N*}．將集合A∪B中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列c1，c2，c3，…，求{cn}的通項(xiàng)公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正實(shí)數(shù)，bn=log2an，若數(shù)列{bn}滿足b2=0，bn+1=bn+log2p，其中p為正常數(shù)，且p≠1．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在正整數(shù)M，使得當(dāng)n＞M時(shí)，a1•a4•a7•…•a3n-2＞a16恒成立？若存在，求出使結(jié)論成立的p的取值范圍和相應(yīng)的M的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若p=2，設(shè)數(shù)列{cn}對(duì)任意的n∈N*，都有c1bn+c2bn-1+c3bn-2+…+cnb1=-2n成立，問(wèn)數(shù)列{cn}是不是等比數(shù)列？若是，請(qǐng)求出其通項(xiàng)公式；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1、公差為2的等差數(shù)列,對(duì)每一個(gè)k∈N*,在ak與ak+1之間插入2k-1個(gè)2,得到新數(shù)列{bn}.設(shè)Sn、Tn分別是數(shù)列{bn}和{an}的前n項(xiàng)和.

(1)試問(wèn)a10是數(shù)列{bn}的第幾項(xiàng)?

(2)是否存在正整數(shù)m,使Sm=2 008?若存在,求出m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)若am是數(shù)列{bn}的第f(m)項(xiàng),試比較Sf(m)與2Tm的大小,并說(shuō)明理由.

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同步練習(xí)冊(cè)答案