Question

已知數列{a_n}滿足a_n+1=qa_n+2q-2（q為常數，|q|＜1），若a₃，a₄，a₅，a₆∈{-18，-6，-2，6，30}，則a₁=

 

．

Answer 1

分析：觀察已知式子，移項變形為a_n+1+2=q（a_n+2），從而得到a_n+2與a_n+1+2的關系，分a_n=-2和a_n≠-2討論，當a_n≠-2時構造等比數列{a_n+2}，公比為q．計算可得答案．

解答：解：由已知可得，a_n+1+2=q（a_n+2），n=1，2，…，
①當a_n=-2時，顯然有a₃，a₄，a₅，a₆∈{-18，-6，-2，6，30}，
此時a₁=-2．
②當a_n≠-2時，{a_n+2}為等比數列，且q=

an+1+2

an+2

，（q為常數，|q|＜1），
又因為a₃，a₄，a₅，a₆∈{-18，-6，-2，6，30}，
所以a₃+2，a₄+2，a₅+2，a₆+2∈{-16，-4，0，8，32}，
因為a_n≠-2，所以a_n+2≠0，又|q|＜1，
從而a₃+2=32，a₄+2=-16，a₅+2=8，a₆+2=-4，
故有a₃=30，a₄=-18，a₅=6，a₆=-6，且q= -

1

2

，
代入a_n+1=qa_n+2q-2得

a3= - 1 2 a2-3 a2= - 1 2 a1-3

，
可得到a₂=-66，a₁=126．

點評：對數列遞推式能否成功變形是解答本題的關鍵所在，要分類討論思想在本體重的應用，否則容易漏解．如何對應得到a₃+2=32，a₄+2=-16，a₅+2=8，a₆+2=-4進而求出a₃=30，a₄=-18，a₅=6，a₆=-6是一個難點．