Question

17．函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x+1，x∈[2，3]的值域是[$\frac{13}{16}$，$\frac{57}{64}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)通過換元求出函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的值域．

解答 解：f（x）=（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x+1=，x∈[2，3]，
令${（\frac{1}{2}）}^{x}$=t，則t∈[$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{4}$]，
f（t）=t²-t+1=${（t-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$，t∈[$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{4}$]，
∴f（t）在t∈[$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{4}$]遞減，
f（t）_min=f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{13}{16}$，f（t）_max=f（$\frac{1}{8}$）=$\frac{57}{64}$，
故答案為：[$\frac{13}{16}$，$\frac{57}{64}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查換元思想，函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道基礎(chǔ)題．