Question

如圖，橢圓（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)是F（1，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)。

（1）已知橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)F的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)。若直線l繞點(diǎn)F任意轉(zhuǎn)動(dòng)，恒有|OA|²+|OB|²＜|AB|²，求a的取值范圍。

Answer 1

解：（1）設(shè)M，N為短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)，因?yàn)椤鱉NF為正三角形
所以
即1=
解得

因此，橢圓方程為；

（2）設(shè)
（i）當(dāng)直線AB與x軸重合時(shí)

因此，恒有。
（ii）當(dāng)直線AB不與x軸重合時(shí)，
設(shè)直線AB的方程為代入
整理得
所以
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110916/201109161435556251157.gif">
所以∠AOB恒為鈍角
即恒成立


又
所以對(duì)m∈R恒成立，
即對(duì)m∈R成立
當(dāng)m∈R時(shí)，最小值為0
所以

因?yàn)閍>0，b>0
所以
即
解得a＞或a＜（舍去）
即a＞
綜合（i）（ii），a的取值范圍為（，+）。