Question

13．已知數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，b_n=log${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n，b₂+b₄=12，b₃+b₅=16．
（1）求{b_n}的通項公式；
（2）求{b_n}的前100項和．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列的通項公式、對數(shù)的運算性質即可得出；
（2）利用等差數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵b_n=log${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n，b₂+b₄=12，b₃+b₅=16．
∴$lo{g}_{\frac{1}{2}}{a}_{2}+lo{g}_{\frac{1}{2}}{a}_{4}$=12，$lo{g}_{\frac{1}{2}}{a}_{3}+lo{g}_{\frac{1}{2}}{a}_{5}$=16，
化為${a}_{2}{a}_{4}=（\frac{1}{2}）^{12}$，${a}_{3}{a}_{5}=（\frac{1}{2}）^{16}$，
∴q²=$（\frac{1}{2}）^{4}$，
∵a_n＞0，∴q＞0．
∴$q=\frac{1}{4}$．
∴${a}_{1}^{2}{q}^{4}$=$（\frac{1}{2}）^{12}$，
∴a₁=$\frac{1}{4}$．
∴${a}_{n}=\frac{1}{4}（\frac{1}{4}）^{n-1}=（\frac{1}{2}）^{2n}$，
∴b_n=log${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n=2n．
（2）{b_n}的前100項和=2+4+…+200
=$\frac{100×（2+200）}{2}$
=10100．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式、對數(shù)的運算性質、等差數(shù)列的前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．