Question

已知點（x，y）在橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的第一象限上運動．
（Ⅰ）求點(

y

x

，xy)的軌跡C₁的方程；
（Ⅱ）若把軌跡C₁的方程表達式記為y=f（x），且在(0，

3

3

)內(nèi)y=f（x）有最大值，試求橢圓C的離心率的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）設(shè)點（x₀，y₀）是軌跡C₁上的動點，∴

x0= y x y0=xy.

（2分）
∴x₀y₀=y²，

y0

x0

=x2．
∵點（x，y）在橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的第一象限上運動，則x₀＞0，y₀＞0．
∴

y0

a2x0

+

x0y0

b2

=1．
故所求的軌跡C₁方程是

y

a2x

+

xy

b2

=1（x＞0，y＞0）．（6分）
（Ⅱ）由軌跡C₁方程是

y

a2x

+

xy

b2

=1（x＞0，y＞0），得y=

a2b2x

b2+a2x2

（x＞0）．
∴f(x)=

a2b2x

b2+a2x2

=

a2b2

b2 x +a2x

≤

a2b2

2 b2 x •a2x

=

ab

2

．
所以，當且僅當

b2

x

=a2x，即x=

b

a

時，f（x）有最大值．（10分）
如果在開區(qū)間(0，

3

3

)內(nèi)y=f（x）有最大值，只有

b

a

＜

3

3

．（12分）
此時，

b2

a2

＜

1

3

?

a2-c2

a2

＜

1

3

，解得

6

3

＜e＜1．
∴橢圓C的離心率的取值范圍是(

6

3

， 1)．（14分）