Question

22.如圖，已知梯形ABCD中，｜AB｜＝2｜CD｜，點(diǎn)E滿足＝，雙曲線過C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)，當(dāng)≤≤時(shí)，求雙曲線離心率e的取值范圍.

Answer 1

22.本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、雙曲線的概念和性質(zhì)、推理、運(yùn)算能力和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.

解：如圖，以AB的垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建立直角坐標(biāo)系xOy，則CD⊥y軸.因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性知C、D關(guān)于y軸對(duì)稱.                             

依題意，記A（－c，0），C，B（x₀，y₀），其中c=｜AB｜為雙曲線的半焦距，h是梯形的高.

 

由，即（x₀+c，y₀）=（－x₀，h－y₀）得

 

x₀=，y_0=.                                                                                        

 

設(shè)雙曲線的方程為－＝1，則離心率e=.

由點(diǎn)C、E在雙曲線上，將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和e=代入雙曲線的方程得

               

由①式得　＝－1，      　　              ③

由③式代入②式，整理得

（4－4）＝1+2，′

故＝1－.                                                      即

依題設(shè)≤≤得，≤1－≤.

解得≤e≤.

所以,雙曲線的離心率的取值范圍為［，］.