Question

已知長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)F₁、F₂連成的△PF₁F₂中，∠F₁PF₂=60°，則△PF₁F₂的面積的最大值為

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓的定義，得PF₁+PF₂=2a=4，PF₁=x，則PF₂=4-x，代入三角形面積公式，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)的圖象性質(zhì)可得答案．

解答：解：根據(jù)橢圓的定義，得PF₁+PF₂=2a=4
設(shè)PF₁=x，則PF₂=4-x，
又∵∠F₁PF₂=60°
∴△PF₁F₂的面積S=

1

2

PF₁•PF₂•sin∠F₁PF₂=-

3

4

x²+

3

x
當(dāng)x=2時(shí)，S取最大值

3

故答案為：

3

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓上一點(diǎn)對(duì)兩個(gè)焦點(diǎn)的張角為60度，求橢圓兩焦點(diǎn)與該點(diǎn)構(gòu)成三角形的面積，著重考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)和正弦定理等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．