如圖所示,在三棱錐P
ABQ中,PB⊥平面ABQ,BA=BP=BQ,D、C、E、F分別是AQ,BQ,AP,BP的中點,AQ=2BD,PD與EQ交于點G,PC與FQ交于點H,連接GH.
(1)求證:AB∥GH;
(2)求二面角DGHE的余弦值.
(1)證明:由D、C、E、F分別是AQ,BQ,AP,BP的中點,知G,H分別是△PAQ,△PBQ的重心.
∴
=
=
.
∴GH∥DC.
又D,C為AQ,BQ的中點,則DC∥AB,
∴AB∥GH.
(2)解:在△ABQ中,
AQ=2BD,AD=DQ,
所以∠ABQ=90°,即AB⊥BQ,
因為PB⊥平面ABQ,
所以AB⊥PB.
又BP∩BQ=B,
所以AB⊥平面PBQ.
由(1)知AB∥GH,所以GH⊥平面PBQ.
又FH⊂平面PBQ,所以GH⊥FH.
同理可得GH⊥HC,
所以∠FHC為二面角DGHE的平面角.
設BA=BQ=BP=2,連接FC,
在Rt△FBC中,由勾股定理得FC=
,
在Rt△PBC中,由勾股定理得PC=
.
又H為△PBQ的重心,
所以HC=
PC=
.同理FH=.
在△FHC中,由余弦定理得
cos∠FHC=
=
=-
.
即二面角DGHE的余弦值為-.
口算心算速算應用題系列答案
同步拓展閱讀系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
如圖,點O為正方體ABCD
A′B′C′D′的中心,點E為平面B′BCC′的中心,點F為B′C′的中點,則空間四邊形D′OEF在該正方體的各個面上的投影可能是 (填出所有可能的序號).
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
設平面α∥平面β,A∈α,B∈β,C是AB的中點,當A、B分別在α、β內移動時,那么所有的動點C( )
(A)不共面
(B)當且僅當A、B在兩條相交直線上移動時才共面
(C)當且僅當A、B在兩條給定的平行直線上移動時才共面
(D)不論A、B如何移動都共面
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
如圖所示,四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.將△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,構成三棱錐ABCD,則在三棱錐ABCD中,下列結論正確的是( )
(A)平面ABD⊥平面ABC (B)平面ADC⊥平面BDC
(C)平面ABC⊥平面BDC (D)平面ADC⊥平面ABC
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
已知a、b、l表示三條不同的直線,α、β、γ表示三個不同的平面,有下列四個命題:
①若α∩β=a,β∩γ=b,且a∥b,則α∥γ;
②若a、b相交,且都在α、β外,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β,則α∥β;
③若α⊥β,α∩β=a,b⊂β,a⊥b,則b⊥α;
④若a⊂α,b⊂α,l⊥a,l⊥b,l⊄α,則l⊥α.
其中正確命題的序號是 .
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
直三棱柱ABC
A′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D、E分別為AB、BB′的中點.
(1)求證:CE⊥A′D;
(2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
空間中兩個有一條公共邊AD的正方形ABCD與ADEF,設M,N分別是BD,AE的中點,給出如下命題:①AD⊥MN;②MN∥平面CDE;③MN∥CE;④MN,CE異面.
則所有的正確命題為 .
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=
,N為B1B的中點,則|
|為( )
a (B)
a (C)
a (D)
a
＋
＝1，則使得a＋b≥μ恒成立的μ的取值范圍是________．