Question

已知函數(shù)．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）函數(shù)f（x）的值域恰為，試求出所有滿足條件的自然數(shù)a所構(gòu)成的集合．

Answer 1

【答案】分析：（1）將函數(shù)適當(dāng)化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化成可利用基本不等式的形式，進(jìn)而利用基本不等式可求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）首先確定a≥1，進(jìn)而根據(jù)f（x）在[0，1]上單增，在[1，a]上單減，求出a的范圍即可．
解答：解：（1）時(shí)等號(hào)成立（4分）
即當(dāng)x=1∈[0，2]時(shí)f（x）的最大值為（6分）
（2）假設(shè)存在這樣的自然數(shù)a滿足條件，
由（1）知當(dāng)x=1時(shí)，y_max=則1∈[0，a]；所以a≥1（18分）
又f（x）在[0，1]上單增，在[1，a]上單減；且f（0）=
所以只需（11分）
解得0≤a≤3
又a≥1且a為自然數(shù)，所以a構(gòu)成的集合為{1，2，3}．（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的定義域，函數(shù)的值域，考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，是中檔題．