Question

12．已知定義在實數集R上的函數f（x）滿足f（1）=2，且f（x）的導數f'（x）在R上恒有f'（x）＜1（x∈R），則不等式f（x）＞x+1的解集為（　�。�

• A． （1，+∞）
• B． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• C． （-1，1）
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 構造函數g（x）=f（x）-x-1，g'（x）=f′（x）-1＜0，從而可得g（x）的單調性，結合f（1）=2，可求得g（1）=1，然后求出不等式的解集即可．

解答 解：令g（x）=f（x）-x-1，
∵f′（x）＜1（x∈R），
∴g′（x）=f′（x）-1＜0，
∴g（x）=f（x）-x-1為減函數，
又f（1）=2，
∴g（1）=f（1）-1-1=0，
∴不等式f（x）＞x+1的解集?g（x）=f（x）-x-1＞0=g（1）的解集，
即g（x）＞g（1），又g（x）=f（x）-x-1為減函數，
∴x＜1，即x∈（-∞，1）．
故選：D．

點評 本題利用導數研究函數的單調性，可構造函數，考查所構造的函數的單調性是關鍵，也是難點所在，屬于中檔題．