Question

（理科）已知函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=kx（k∈R）
（Ⅰ）若k=e²，試確定函數(shù)f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若k＞0，對(duì)于任意的x∈R，f（|x|）＞g（|x|）恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，只要解導(dǎo)數(shù)的不等式即可，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）若k＞0，且對(duì)于任意x∈R，f（|x|）＞g（|x|）恒成立，只需轉(zhuǎn)化為f（x）＞0對(duì)任意x≥0成立即可．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)k=e²時(shí)，設(shè)h（x）=f（x）-g（x）=e^x-xe²，
∴h'（x）=e^x-e²，
令h'（x）=0，則x=2
當(dāng)x∈（-∞，2）時(shí)，h'（x）＞0，則函數(shù)h（x）是單調(diào)增函數(shù)；
當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，h'（x）＜0，則函數(shù)h（x）是單調(diào)減函數(shù)；
（Ⅱ）設(shè)w（x）=f（|x|）-g（|x|）=e^|x|-|x|k，
由于函數(shù)w（x）是偶函數(shù)，那么要使f（|x|）＞g（|x|），
只需要w（x）＞0在x＞0時(shí)成立即可；
當(dāng)x＞0時(shí)，e^x＞1，若0＜k≤1，那么w'（x）=e^x-k＞0，函數(shù)w（x）單調(diào)遞增，w（x）＞w（0）=1＞0，所以0＜k≤1…①
當(dāng)x＞0時(shí)，令w'（x）=e^x-k=0，則x=lnk（k=e^x＞1）列表

x	（0，lnk）	lnk	（lnk，+∞）
w'（x）	-	0	+
w（x）	減函數(shù)	最小值	增函數(shù)

則w（x）_min=w（lnk）=k-klnk，解k-klnk＞0，則k＜e，結(jié)合式得1＜k＜e…②
綜上所述，當(dāng)0＜k＜e時(shí)，f（|x|）＞g（|x|）恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．