Question

6．已知雙曲線Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)為F，以原點(diǎn)為圓心，OF為半徑的圓分別與雙曲線Γ的一條漸近線及雙曲線Γ交于M、N兩點(diǎn)（其中M、N均為第一象限上的點(diǎn)），當(dāng)MF∥ON時(shí)，雙曲線Γ的離心離一定在區(qū)間（　�。�

• A． （1，$\frac{4}{3}$）
• B． （$\frac{4}{3}$，$\sqrt{2}$）
• C． （$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）
• D． （$\sqrt{3}$，2）

Answer 1

分析 求得雙曲線的焦點(diǎn)和一條漸近線方程，圓的方程，聯(lián)立漸近線方程和圓方程可得M，聯(lián)立圓方程和雙曲線方程可得N，運(yùn)用兩直線平行條件可得直線ON方程，代入N的坐標(biāo)，結(jié)合離心率公式，構(gòu)造三次函數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可求得e的范圍．

解答 解：雙曲線Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)為F（-c，0），
一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
以原點(diǎn)為圓心，OF為半徑的圓為x²+y²=c²，
聯(lián)立漸近線方程和圓的方程，可得M（a，b），
MF的斜率為k=$\frac{a+c}$，
由MF∥ON，可得ON的斜率為$\frac{a+c}$，
即有直線ON：y=$\frac{a+c}$x．
聯(lián)立圓的方程和雙曲線方程，可得N（$\frac{a}{c}\sqrt{{c}^{2}+^{2}}$，$\frac{^{2}}{c}$），
即有$\frac{^{2}}{c}$=$\frac{a+c}$•$\frac{a}{c}\sqrt{{c}^{2}+^{2}}$，
化簡(jiǎn)可得c³+2ac²-2a²c-2a³=0，
由e=$\frac{c}{a}$可得，
e³+2e²-2e-2=0，
令f（x）=x³+2x²-2x-2，
f（1）=-1＜0，f（$\frac{4}{3}$）=$\frac{34}{27}$＞0，
則f（1）f（$\frac{4}{3}$）＜0，
由零點(diǎn)存在定理可得，e∈（1，$\frac{4}{3}$）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查離心率的范圍，同時(shí)考查直線和圓的位置關(guān)系、兩直線平行的條件和圓和雙曲線的交點(diǎn)求法，運(yùn)用離心率公式和函數(shù)的零點(diǎn)存在定理是解題的關(guān)鍵．