Question

方程

(1+x)3

4-x2

+x2-4=0的實根個數(shù)為

3

．

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：令f（x）=

(1+x)3

4-x2

+x2-4，定義域為（-2，2），然后求出導(dǎo)函數(shù)，判定導(dǎo)數(shù)符號得到函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)根的存在性定理進(jìn)行判定即可．

解答：解：令f（x）=

(1+x)3

4-x2

+x2-4，定義域為（-2，2）
f'（x）=

3(1+x)2 4-x2 -(1+x)3 -x 4-x2

4-x2

+2x
=

(1+x)2[3 4-x2 + x(1+x) 4-x2 ]

4-x2

+2x
x→-2時，f'（x）→+∞，f'（-1）=-2＜0
∴f（x）在（-2，-1）上存在極大值，
而當(dāng)x∈（-2，-1）時，

(1+x)3

4-x2

＜0，x²-4＜0
∴f（x）＜0
∴f（x）的極大值小于0，從而在（-2，0）上恒小于0
當(dāng)x≥0時，f'（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增
而f（0）=-

15

4

＜0，f（1）=

8 3

3

-3＞0
∴函數(shù)f（x）在[0，+∞）上有一個零點即方程

(1+x)3

4-x2

+x2-4=0的實根個數(shù)為1
故選D．

點評：本題主要考查了函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時考查了分析問題的能力，屬于中檔題．