Question

求證：在一個平面內(nèi)，過直線l外一點P只能作出一條直線垂直于l.

Answer 1

證明：假設(shè)過點P可以作兩條直線垂直于直線l,如圖，那么∠PAB=90°，于是∠APB+∠PAB+∠PBA＞180°,即△PAB的內(nèi)角和大于180°，這與三角形內(nèi)角和定理矛盾，故假設(shè)不成立.

所以，在一個平面內(nèi)，過直線l外一點P只能作出一條直線垂直于l.綠色通道：

用反證法證明數(shù)學(xué)命題，需要注意以下幾點：

（1）“否定結(jié)論”是反證法的第一步，它的正確與否直接影響能否正確使用反證法.否定結(jié)論的步驟是：①弄清結(jié)論本身的情況；②找出結(jié)論的全部相反情況；③正確否定上述結(jié)論.

（2）反證法中引出矛盾的結(jié)論，不是推理本身的錯誤，而是開始假定“結(jié)論的反面是正確的”是錯誤的.

（3）在反證法證題的過程中，經(jīng)常畫出某些不合常理的圖形，甚至是不可能存在的圖形，這樣做的目的是為了能清楚地說明問題.在證明過程中，每一步推理所得結(jié)論的正確性，完全由它所依據(jù)的理由來保證，而不能借助圖形的直觀，這與用直接證法通過圖形直接找到證題的途徑是完全不一樣的.

黑色陷阱：

用反證法證明命題時，若原命題問題的反面不唯一，這時容易漏掉一些情況，對于這種情形，要把每種可能一一否定，不要遺漏.