Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為Sn=3n-1
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）若bn=log

1

3

(Sn+1)，求數(shù)列{b_na_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，由Sn=3n-1，能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）bn=log

1

3

(Sn+1)=log

1

3

(3n)=-n，所以Tn=-2×1-4×31-6×32-…-2n×3n-1，利用錯位相減法能夠求出數(shù)列{b_na_n}的前n項和T_n．

解答：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2，
當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=(3n-1)-(3n-1-1)=2×3n-1
綜上所述an=2×3n-1…（5分）
（Ⅱ）bn=log

1

3

(Sn+1)=log

1

3

(3n)=-n…（6分）
所以b_na_n=-2n×3^n-1Tn=-2×1-4×31-6×32-…-2n×3n-1…（7分）
3T_n=-2×3¹-4×3²-…-2（n-1）×3^n-1-2n×3ⁿ…（8分）
相減得-2Tn=-2×1-2×31-2×32-…-2×3n-1+2n×3n
=-2×（1+3¹+3²+…+3^n-1）+2n×3ⁿ…（10分）
所以Tn=(1+31+32+…+3n-1)-n×3n=

1-3n

1-3

-n×3n
=-

(2n-1)×3n+1

2

，n∈N*…（12分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

的靈活運用和錯位相減法的合理運用．