Question

已知f（x）=

ax+b

1+x2

（a，b為常數(shù)）是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f（

1

2

）=

4

5

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）用定義證明f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)并求值域；
（3）求不等式f（2t-1）+f（t）＜0的解集．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的值域,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意可得：

f(0)=0 f( 1 2 )= 4 5

，解得即可．
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義即可證明；
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性即可解出．

解答： 解：（1）由題意可得：

f(0)=0 f( 1 2 )= 4 5

，解得a=2，b=0，
∴f（x）=

2x

1+x2

．
（2）證明：設(shè)任意-1＜x₁＜x₂＜1，f(x1)-f(x2)=

2x1

1+ x 2 1

-

2x2

1+ x 2 2

=

2(x1-x2+x1 x 2 2 -x2 x 2 1 )

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

=

2(x1-x2)(1-x1x2)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

，
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0；
∵-1＜x₁，x₂＜1，∴1-x₁x₂＞0，(1+

x

2 1

)(1+

x

2 2

)＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．
∴f（x）的值域為（-1，1）．
（3）∵f（2t-1）＜-f（t）=f（-t），
∴

-1＜2t-1＜1 -1＜t＜1 2t-1＜-t

⇒0＜t＜

1

3

．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的定義及其單調(diào)性、奇偶性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．