Question

13．在△ABC中，求證：S_△ABC=$\frac{{a}^{2}}{2（cotB+cotC）}$．

Answer 1

分析 由三角形面積公式可得S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC，且由正弦定理可得：sinB=$\frac{2R}$，sinA=$\frac{a}{2R}$，利用同角三角函數(shù)基本關系式，兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦定理，化簡等式右邊可證等于左邊，從而得證．

解答 解：∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC，且由正弦定理可得：sinB=$\frac{2R}$，sinA=$\frac{a}{2R}$，
∴$\frac{{a}^{2}}{2（cotB+cotC）}$=$\frac{{a}^{2}}{2（\frac{cosB}{sinB}+\frac{cosC}{sinC}）}$=$\frac{{a}^{2}}{2\frac{cosBsinC+cosCsinB}{sinBsinC}}$=$\frac{{a}^{2}}{2\frac{sinA}{sinBsinC}}$=$\frac{{a}^{2}sinBsinC}{2sinA}$=$\frac{{a}^{2}×\frac{2R}×sinC}{2×\frac{a}{2R}}$=$\frac{1}{2}$absinC=S_△ABC．
得證．

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式，兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應用，屬于中檔題．