Question

18．（1）6男2女排成一排，2女相鄰，有多少種不同的站法？
（2）6男2女排成一排，2女不能相鄰，有多少種不同的站法？
（3）4男4女排成一排，同性者相鄰，有多少種不同的站法？
（4）4男4女排成一排，同性者不能相鄰，有多少種不同的站法？

Answer 1

分析 （1）此題屬于相鄰問題，用“捆綁法”、以及分步計數(shù)原理求得結(jié)果．
（2）此題屬于不相鄰問題，用“插空法”求得結(jié)果．
（3）此題屬于相鄰問題，用“捆綁法”、以及分步計數(shù)原理求得結(jié)果．
（4）先把4個男的進(jìn)行排列，方法有${A}_{4}^{4}$種，再把4個女的進(jìn)行插空排列，方法有2${A}_{4}^{4}$種，再根據(jù)分布計數(shù)原理取得結(jié)果．

解答 解：（1）6男2女排成一排，2女相鄰，先把2個女的：“綁在一起”，看成一個整體，方法有${A}_{2}^{2}$種，
再把此整體與其余的6個男的進(jìn)行排列，方法有${A}_{7}^{7}$種，
再根據(jù)分步計數(shù)原理，所有的站法共有${A}_{2}^{2}$•${A}_{7}^{7}$=10080種方法．
（2）6男2女排成一排，2女不能相鄰，先排6個男的，方法有${A}_{6}^{6}$種，再把2個女的插入6人形成的7個空中，
方法共有${A}_{7}^{2}$種，
再根據(jù)分步計數(shù)原理，所有的站法共有${A}_{6}^{6}$•${A}_{7}^{2}$=30240種方法．
（3）4男4女排成一排，同性者相鄰，4個男的在一起排列，方法有${A}_{4}^{4}$種，再把4個女的在一起排列，方法有${A}_{4}^{4}$種，
再把這2個“整體”進(jìn)行排列，故所有的排列數(shù)為 ${A}_{2}^{2}$•${A}_{4}^{4}$•${A}_{4}^{4}$=1152．
（4）4男4女排成一排，同性者不能相鄰，先把4個男的進(jìn)行排列，方法有${A}_{4}^{4}$種，再把4個女的進(jìn)行插空排列，方法有2${A}_{4}^{4}$種，
故所有的排列方法共有2${A}_{4}^{4}$•${A}_{4}^{4}$=1152 種．

點評 本題主要考查排列組合問題，相鄰問題用“捆綁法”，不相鄰問題用“插空法”，屬于中檔題．