Question

5．設函數f（x）=|x+2|+|x-2|，x∈R，不等式f（x）≥6的解集為M．
（Ⅰ） 求M
（Ⅱ） 當a，b∈M時，求證：$\sqrt{3}|a+b|＜|ab+3|$．

Answer 1

分析 （I）對x進行討論，化簡f（x），解不等式即可；
（II）使用作差法比較它們的平方即可得出大小關系．

解答 解：（I）當x≤-2時，f（x）=-x-2-x+2=-2x，
令-2x≥6得x≤-3，
當-2＜x＜2時，f（x）=x+2+2-x=4，
當x≥2時，f（x）=x+2+x-2=2x，
令2x≥6得x≥3，
綜上，f（x）≥6的解集為M=（-∞，-3]∪[3，+∞）．
（II）證明：∵（$\sqrt{3}$|a+b|）²-（|ab+3|）²=3（a²+2ab+b²）-（a²b²+6ab+9），
=3a²+3b²-a²b²-9=（a²-3）（3-b²），
∵a，b∈M，
∴（a²-3）（3-b²）＜0，即（$\sqrt{3}$|a+b|）²-（|ab+3|）²＜0，
∴（$\sqrt{3}$|a+b|）²＜（|ab+3|）²，
∵$\sqrt{3}$|a+b|≥0，|ab+3|≥0，
$\sqrt{3}$|a+b|＜|ab+3|．

點評 本題考查了絕對值不等式的解法，不等式的證明方法，屬于中檔題．