Question

（18）如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直.點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM＝BN＝a （0＜a＜）.

（Ⅰ）求MN的長；

（Ⅱ）當(dāng)a為何值時(shí)，MN的長最��；

（Ⅲ）當(dāng)MN長最小時(shí)，求面MNA與面MNB所成的二面角α的大小.

Answer 1

（18）本小題主要考查線面關(guān)系、二面角和函數(shù)極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理論證能力.

解：（Ⅰ）作MP∥AB交BC于點(diǎn)P，NQ∥AB交BE于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ，依題意可得MP∥NQ,且MP＝NQ，

即MNQP是平行四邊形，∴MN＝PQ.　　　　　　　　　　　　

由已知，

CM＝BN＝a,CB＝AB＝BE＝1,

∴AC＝BF＝，

＝,＝.

即CP＝BQ＝.

∴MN＝PQ＝

＝

＝（0＜a＜）.　　　　　　　　　　　

 

（Ⅱ）由（Ⅰ）,

MN＝,

所以，當(dāng)a＝時(shí)，MN＝.

即M、N分別移動(dòng)到AC、BF的中點(diǎn)時(shí)，MN的長最小，最小值為.

 

（Ⅲ）取MN的中點(diǎn)G，連結(jié)AG、BG，

∵AM＝AN,BM＝BN,G為MN的中點(diǎn)

∴AG⊥MN，BG⊥MN，∠AGB即為二面角α的平面角，

又AG＝BG＝，所以，由余弦定理有cosα＝.

故所求二面角α＝arccos（－）.