Question

15．已知x滿足a^2x+a⁶≤a^x+2+a^x+4（0＜a＜1），函數(shù)y=log_a（$\frac{1}{{a}^{2}x}$）•log${\;}_{\frac{1}{{a}^{2}}}$（ax）的值域為[-$\frac{1}{8}$，0]，求a的值．

Answer 1

分析 先由x滿足的條件求出x的范圍為[2，4]，這個區(qū)間便是原函數(shù)的定義域，可將原函數(shù)變成$y=\frac{1}{2}（lo{g}_{a}x+\frac{3}{2}）^{2}-\frac{1}{8}$，設(shè)y=f（x）．從而由f（x）的值域即知f（x）在端點的值為0，從而有f（2）=0，或f（4）=0，這樣便可求出a，并通過$lo{g}_{a}x=-\frac{3}{2}$求出x，看x能否在區(qū)間[2，4]內(nèi)，這樣便可得出a的值．

解答 解：由a^2x+a⁶≤a^x+2+a^x+4，0＜a＜1，得：
（a^x）²-（a²+a⁴）a^x+a⁶≤0；
∴a⁴≤a^x≤a²；
∴2≤x≤4；
y=$lo{g}_{a}（\frac{1}{{a}^{2}x}）•lo{g}_{\frac{1}{{a}^{2}}}（ax）$=$（0-2-lo{g}_{a}x）•\frac{1+lo{g}_{a}x}{-2}$=$\frac{1}{2}（lo{{g}^{2}}_{a}x+3lo{g}_{a}x+2）$=$\frac{1}{2}（lo{g}_{a}x+\frac{3}{2}）^{2}-\frac{1}{8}$；
∵2≤x≤4，0＜a＜1；
又原函數(shù)的值域為$[-\frac{1}{8}，0]$；
設(shè)y=f（x），則：f（4）=$\frac{1}{2}（lo{g}_{a}4+\frac{3}{2}）^{2}-\frac{1}{8}=0$，或f（2）$\frac{1}{2}（lo{g}_{a}2+\frac{3}{2}）^{2}-\frac{1}{8}$=0；
解得a=$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$，或$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
經(jīng)驗證a=$\frac{1}{2}$符合題意．

點評 考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，一元二次不等式的解法，配方法的運用，以及二次函數(shù)值域的端點和定義域端點的關(guān)系，不要忘了驗證a是否滿足條件．