Question

5．設a，b都是正數(shù)，且滿足$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$cosxdx，則使a+b＞c恒成立的實數(shù)c的取值范圍是（-∞，9）．

Answer 1

分析 先根據(jù)定積分的計算得到$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$=1，由題知利用“1”的代換，以及基本不等式求解即可得到答案．

解答 解：∵${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$cosxdx=sinx|${\;}_{0}^{\frac{π}{2}}$=1，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$=1，
∵a，b均為正數(shù)，
∴a+b=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$）=5+$\frac{a}$+$\frac{4a}$≥5+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{4a}}$=9．當且僅當a=3，b=6時取等號．
∴a+b＞c恒成立的實數(shù)c的取值范圍是c＜9．
故答案為：（-∞，9）．

點評 本題考查定積分的計算，基本不等式的應用，解題時要認真審題，仔細解答．